• Document: Tento text vzniká jako podklad pro seminář Úvod do stochastické analýzy,
  • Size: 283.65 KB
  • Uploaded: 2019-06-12 20:50:32
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Úvodem Tento text vzniká jako podklad pro seminář “Úvod do stochastické analýzy”, určený předevšı́m (ale nejen) studentům Fakulty jaderné a fyzikálně inženýrské ČVUT v Praze. Při sepisovánı́ textu kladu důraz předevšı́m na významné aspekty probı́rané teorie, a to i za cenu jisté slevy z rigorozity a obecnosti. Ta je vyžádána hned několika důvody: jednak “prerekvizitnı́” kurzy nekladou dostatečný důraz na souvisejı́cı́ teorii, zejména na součinové prostory, Radonovu-Nikodýmovu de- rivaci atd. Zadruhé, a to předevšı́m, cı́lem semináře je relativně rychlé seznámenı́ s problematikou stochastické analýzy a stochastických diferenciálnı́ch rovnic s tı́m, že přı́padnı́ zájemci si dalšı́ aparát doplnı́ bud’ samostudiem, nebo, v přı́padě širšı́ho zájmu, nějakým navazujı́cı́m, plně rigoroznı́m kurzem. S ohledem na výše zmı́něné bude tento text pojednávat zejména o stochastické integraci ve vztahu k Wienerově procesu. Tyto poznámky, stejně jako průběh semináře, opı́rajı́ se o zdařilou knihu profesora Øksendala [2003]. Jejı́ výklad však nenı́ sledován doslova. Tam, kde jsem uznal za vhodné, Øksendalovo pojetı́ rozšiřuji nebo jinak upravuji. Student, který by si chtěl rozšı́řit zde probı́ranou problematiku, je tedy odkázán na dalšı́ (většinou náročnějšı́) literaturu, jejı́ž seznam je na konci. Při rozvažovánı́, zda text pojmout “Landau stylem” (striktně definice–věta– důkaz) nebo spı́še výkladovým stylem Halmosovým, přiklonil jsem se vı́ce na stranu druhou. Důvodů je opět celá řada, dominuje mezi nimi důsledek výše zmı́něného ústupku z rigorozity. Nenı́, dle mého soudu, možné, napsat “Landau stylem” text zmı́něného charakteru. Autor bude vděčný za jakékoliv poznámky, připomı́nky a korektury textu, nebot’ ten z podstaty geneze nese nemálo nedokonalostı́. Kamil Dedecius 1 1 Úvodnı́ definice Nejprve letmo zopakujeme několik základnı́ch definic z teorie mı́ry a pravděpodobnosti. Zájemce o širšı́ popis a souvislosti najde zevrubný výklad teorie v libovolné učebnici pravděpodobnosti. Definice 1. Systém F podmnožin Ω nazýváme σ-algebrou na Ω, pokud (i) ∅ ∈ F, (ii) F ∈ F ⇒ F C ∈ F kde F C = Ω \ F je doplněk množiny F v Ω, S∞ (iii) A1 , A2 , . . . ∈ F, pak i i=1 Ai ∈ F. Dvojice (Ω, F) se nazývá měřitelným prostorem. Zavedeme na něm zobrazenı́ P : F → [0, 1], splňujı́cı́ (i) P (∅) = 0, P (Ω) = 1, (ii) pokud A1 , A2 , . . . ∈ F jsou po dvou disjunknı́ množiny, potom ∞ ∞ ! [ X P Ai = P (Ai ). i=1 i=1 P potom nazveme pravděpodobnostnı́ mı́rou (pravděpodobnostı́) na (Ω, F) a tro- jici (Ω, F, P ) pravděpodobnostnı́m prostorem. Tento prostor zřejmě nenı́ úplný, lze jej ovšem zúplnit doplněnı́m všech množin G s nulovou vnějšı́ mı́rou, tedy P ∗ (G) := inf {P (F ); F ∈ F, G ⊆ F } = 0. σ-algebra nemusı́ být dána a priori, k jejı́ konstrukci ovšem postačı́ i li- bovolný systém A podmnožin Ω. Pı́šeme potom σ(A) a mluvı́me o σ-algebře generované A. Je jednoduché ukázat, že taková algebra je nejmenšı́ ze všech σ-algeber, které A obsahujı́ (cvičenı́). Vhodným přı́kladem nejmenšı́ σ-algebry je borelovská σ-algebra, jež je generována všemi otevřenými (nebo ekvivalentně uzavřenými množinami) na Rn . Množiny z libovolné σ-algebry nazýváme měřitelnými množinami, v pravdě- podobnostnı́m prostoru častěji jevy. Pravděpodobnost P (F ) pro F ∈ F potom kvantifikuje tvrzenı́, že jev F nastal. P (F ) = 1 značı́ pravděpodobnost skoro jistě, ve zkratce s.j. Zatı́m co v klasické analýze klademe důraz na původnı́ prostor, v pravděpodobnosti se prostor (Ω, F, P ) většinou nehodı́, nebot’ může obsahovat tak řı́kajı́c kde co. Je tedy vhodné (až nutné) se posunout “o úroveň výše”, a sice prostřednictvı́m zobrazenı́ a zavést náhodnou veličinu. Definice 2. Měřitelným zobrazenı́m X : (Ω1 , F1 ) → (Ω2 , F2 ) kde oba prostory jsou měřitelné nazýváme takové zobrazenı́, pro něž platı́ X −1 (F2 ) ⊆ F1 , t.j. X −1 (F2 ) ∈ F1 pro každou množinu F2 ∈ F2 . Zobrazenı́ X :

Recently converted files (publicly available):