• Document: 2015 A. RIDARD
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Exercices de Statistique HEI 3 - 2014/2015 A. RIDARD 2 Table des matières 1 Loi normale 5 2 Estimation 7 3 Tests statistiques 11 4 Régression linéaire 13 5 Analyse de variance 19 Annales 25 3 4 Chapitre 1 Loi normale Exercice 1. La demande mensuelle d’un produit obéit à une loi normale. Elle a une probabilité 0,1 d’être inférieure à 15 000 unités (resp. supérieure à 25 000 unités). 1. Quels sont les paramètres de cette loi ? 2. Calculer la probabilité qu’en un mois la demande dépasse 23 000 unités. 3. Quel doit être le stock pour ne risquer une rupture qu’avec une probabilité d’environ 0.1% ? Exercice 2. Une société envisage la mise en place de nouveaux équipements. Dans le cadre de ce projet, elle a défini trois tâches A, B et C. On sait que la tâche A dure 10 semaines et que les tâches B et C ont des durées aléatoires indépendantes ; la durée de B obéissant à la loi normale de moyenne 18 et d’écart-type 4, la durée de C obéissant à la loi normale de moyenne 20 et d’écart-type 5. 1. Quelle est la probabilité que la tâche B (resp. C) dure entre 18 et 25 semaines ? 2. Quelle est la probabilité que la durée totale D des trois tâches ne dépasse pas 55 semaines ? 3. Déterminer un intervalle centré sur l’espérance mathématique dans lequel se trouve la durée totale avec une probabilité de 0,75. Exercice 3. Les ampoules de la marque A ont une durée de vie moyenne de 2500 heures avec un écart-type de 500 heures, celles de la marque B ont une durée de vie moyenne de 2300 heures avec un écart-type de 800 heures. On prélève 300 ampoules A et 200 ampoules B. 1. Quelle est la loi de la durée de vie moyenne des 300 ampoules A (resp. des 200 ampoules B) ? 2. Quelle est la probabilité que la durée de vie moyenne des 300 ampoules A ne soit pas supérieure de plus de 100 heures à la durée de vie moyenne des 200 ampoules B ? 3. Quelle est la probabilité que l’écart entre les deux durées de vie moyenne ne dépasse pas 40 heures ? Exercice 4 (juin 2009). Un balladeur mp3 fabriqué par la compagnie Multisonic est garanti contre tout défaut de fabrication pour une période de 2 ans. D’après l’expérience de la compagnie, les chances d’observer une non-conformité majeure durant les 26 mois (respectivement 52 mois) suivant l’achat sont de 1 sur 100 (respectivement 975 sur 1000). Supposons que le temps X requis après l’achat pour qu’une non-conformité majeure se présente soit distribué normalement. 1. Déterminer les paramètres de cette gaussienne. 2. Quelle est la probabilité que l’appareil présente une non-conformité majeure avant la fin de la période de garantie ? 5 3. Quelle devrait être la période de garantie si Multisonic ne souhaitait remplacer que 0,05% des appareils vendus ? Exercice 5 (juin 2009). Si deux charges sont appliquées à une poutre en porte-à-faux selon le schéma ci-contre, le moment fléchissant à O dû aux charges est MF = c1 X1 + c2 X2 . Supposons que c1 = 2 mm, que c2 = 6 mm et que X1 , X2 soient des variables aléatoires indépendantes respectivement de moyenne 5 kN et 8kN, d’écart-type 0,25 kN et 0,40 kN. 1. Déterminer l’espérance et l’écart-type du moment fléchissant. Soit X, Y des variables aléatoires indépendantes et a, b des réels. Alors V ar(X + Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) et V ar(aX + b) = a2 V ar(X) 2. Si X1 et X2 sont distribuées normalement, quelle est la probabilité que le moment fléchissant soit supérieur à 64 Kn.mm ? Exercice 6 (janvier 2010). La vitesse (km/h) des voitures passant à un certain point d’une route peut être considérée comme une variable aléatoire de loi normale. Par observation, on trouve que 95% des voitures a une vitesse inférieure à 150 km/h et 10% a une vitesse inférieure à 90 km/h. 1. Déterminer les paramètres de cette loi. 2. Calculer le pourcentage de voitures roulant entre 120 et 140 km/h. Exercice 7 (juin 2010). Un bar débite la bière en chopes dont le contenu effectif est une variable aléatoire X supposée gaussienne de moyenne m = 25 cl et d’écart-type σ = 2 cl. 1. Déterminer la probabilité que votre chope de bière contienne : (a) plus de 26 cl de bière. (b) moins de 23 cl de bière. 2. Déterminer la probabilité pour qu’il y ait moins de 1 cl d’écart entre votre chope et celle de votre ami. Exercice 8 (janvier 2011). Une machine remplit automatiquement des boı̂tes de sucre en poudre de telle façon que le poids de sucre effectivement contenu dans une boı̂te soit une variable aléatoire normale de paramètres m et σ exprimés en grammes. On souhaite régler la machine de sorte q

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