• Document: Уравнение теплопроводности на прямой и полупрямой
  • Size: 275.11 KB
  • Uploaded: 2019-07-21 03:51:08
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

УМФ – семинар – К 5 – 5 Уравнение теплопроводности на прямой и полупрямой № 582, 586, 588, 574, 581, 583, 585, 587, 584. 1. Формула Пуассона В n-мерном Евклидовом пространстве En = {x = (x1 , . . . , xn )} рассмотрим задачу Коши для простейшего случая уравнения теплопроводности:  ut − a2 ∆u = f (x, t), x ∈ En , t > 0; (1.1) u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ En . Опр. 1.1. Её решение задаётся формулой Пуассона: Zt Z |x−ξ|2 Z − 1 |x−ξ|2 e 4a2 (t−τ ) u(x, t) = √ n e− 4a2 t · ϕ(ξ)dξ +  p n · f (ξ, τ )dξdτ, (1.2) 2a πt 2a π(t − τ ) En 0 En n где |x − ξ|2 = (xk − ξk )2 . P k=1 В частном случае, когда n = 1, формула Пуассона принимает вид: Z+∞ Z t Z+∞ (x−ξ)2 − 1 (x−ξ)2 e 4a2 (t−τ ) − u(x, t) = √ e 4a2 t · ϕ(ξ)dξ +  n · f (ξ, τ )dξdτ. (1.3) 2a πt p −∞ 0 −∞ 2a π(t − τ ) 2. № 582 Найти решение задачи для уравнения теплопроводности на полупрямой в случае однородного краевого условия второго рода (условие теплоизолированного конца):   ut − a2 uxx = 0, x > 0, t > 0; u(x, 0) = ϕ(x), x > 0; (2.1) ux (0, t) = 0, t > 0.  Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:  vt − a2 vxx = 0, x ∈ (−∞, +∞), t > 0; (2.2) v(x, 0) = ϕ1 (x), x ∈ (−∞, +∞), где функция ϕ1 (x) построена по функции ϕ(x) её чётным продолжением на всю числовую ось:  ϕ(x), при x > 0; ϕ1 (x) = (2.3) ϕ(−x), при x < 0, Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞). Так как v – решение (2.2), то: 1) из первого равенства (2.2) следует, что vt − a2 vxx = 0, x ∈ (0, +∞), t > 0; c Д.С. Ткаченко -1- УМФ – семинар – К 5 – 5 2) из второго равенства (2.2) следует, что v(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x), x ∈ (0, +∞), t > 0. Убедимся, что для решения v(x, t) вспомогательной задачи (2.2) справедливо соотношение vx (0, t) = 0, t > 0. Для этого воспользуемся формулой Пуассона для случая f ≡ 0: Z+∞ Z+∞  1 (x−ξ)2 1 (x−ξ)2 (x+ξ)2

Recently converted files (publicly available):