• Document: Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes
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Exercícios Resolvidos sobre probabilidade total e Teorema de Bayes Para ampliar sua compreensão sobre probabilidade total e Teorema de Bayes, estude este conjunto de exercícios resolvidos sobre o tema. Esse passo é fundamental para fixar bem o conteúdo apresentado na Web Aula e preparar-se para os Exercícios Propostos. Exercício 1 Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta. Ao não saber a resposta, o aluno “chuta” aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba 60% do conteúdo, qual será a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? E qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões? Solução Enunciado Em uma prova de múltipla escolha, cada questão tem 5 alternativas, sendo apenas uma delas correta. Ao não saber a resposta, o aluno “chuta” aleatoriamente uma resposta qualquer entre as possíveis escolhas. Levando-se em conta um aluno mediano, que saiba 60% do conteúdo, qual será a chance de ele acertar uma das 5 questões escolhida aleatoriamente? E qual a chance de ele acertar exatamente 3 questões? Solução Este problema consiste em calcular a probabilidade incondicional de um aluno acertar uma questão qualquer. Isto é, sem saber se ele domina ou não o conteúdo, qual é a chance de acertar uma questão? Para resolver este exercício, portanto, você deve aplicar o teorema da Probabilidade Total. Considere os eventos: A = acertar B = saber o conteúdo = não saber o conteúdo e, portanto, “chutar” uma alternativa Assuma que, se o aluno sabe o conteúdo, ele tem 100% de probabilidade de acertar a questão considerada. Se ele não domina o assunto, “chutará” uma resposta, com 20% de chance de acertar – pois há 5 alternativas possíveis. Então, temos: Para calcular a chance de o aluno acertar exatamente 3 questões, vamos utilizar a informação obtida na primeira parte do exercício. Essa chance será calculada multiplicando a chance de ele acertar 3 questões multiplicada pela chance de errar 2 questões multiplicada pelo número possível de combinações com 3 questões certas e 2 erradas. Utilizando o que você aprendeu sobre regra do produto e os conhecimentos que já possuía sobre combinações temos: Exercício 2 Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ou elétricos. Se ele tiver problemas mecânicos, não para, mas se tiver problema elétrico tem de parar imediatamente. A chance de esse veículo ter problemas mecânicos é de 0,2. Já a chance do mesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se não houve problema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problema mecânico precedente. Agora, calcule: a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinado dia? b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenha havido defeito mecânico? c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânico em determinado dia se o veículo não parou nesse dia? Solução Enunciado Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ou elétricos. Se ele tiver problemas mecânicos, não para, mas se tiver problema elétrico tem de parar imediatamente. A chance de esse veículo ter problemas mecânicos é de 0,2. Já a chance do mesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se não houve problema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problema mecânico precedente. Agora, calcule: a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinado dia? b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenha havido defeito mecânico? c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânico em determinado dia se o veículo não parou nesse dia? Solução Considere os eventos: M = ter problema mecânico E = ter problema elétrico São dadas as informações: P(M) = 0,2 P(E|M) = 0,25 Vamos verificar cada um dos itens: a) O veículo somente vai parar se tiver problema elétrico. Então, precisamos calcular a Probabilidade Total de ocorrer defeito elétrico, independentemente de ter havido ou não defeito mecânico. b) Devemos calcular a probabilidade de ter havido defeito mecânico condicionada ao fato de sabermos que o veículo parou (lembre-se que o veículo para quando há defeito elétrico). Isso é feito por meio do Teorema de Bayes. Observe que P(E) é a Probabilidade Total, calculada no item anterior. c) Mais uma vez, vamos utilizar o Teorema de Bayes para calcular a probabilidade de que tenha havido problema mecânico, dado que não houve defeito elétrico. A probabilidade de não haver defeito elétrico é dada pela propriedade do evento complementar: Agora vamos calcular a probabilidade de não haver defeito elétrico, dado que houve defeito mecânico. Considerando o espaço amostral de todos os eventos que podem ocorrer, dado que houve defeito mecânico, sabemos que a chance de haver defeito elétrico é P(E|M) = 0,

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