• Document: ЛИНЕЙНЫЕ МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В УПРАВЛЕНИИ
  • Size: 443.53 KB
  • Uploaded: 2018-12-08 14:48:08
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

ЛИНЕЙНЫЕ МАТРИЧНЫЕ НЕРАВЕНСТВА В УПРАВЛЕНИИ П. С. Щербаков Институт проблем управления, Москва III Традиционная всероссийская молодежная летняя школа “Управление, Информация и Оптимизация” Ярополец, 12–19 июня 2011 1/26 Что такое “линейное матричное неравенство” и почему “управление”? Линейная система: ẋ = Ax, x(0) = x0 , A ∈ Rn×n Устойчивость: x(t) → 0 ⇐⇒ max Re λi (A) < 0 ⇐⇒ ∃ X Â 0 : AX + XAT + Q = 0, QÂ0 i !!! обозначение X Â 0 : z T Xz > 0 ∀ z 6= 0 [ ≡ λmin (X) > 0 ] !!! Устойчивость линейной системы ≡ существованию квадратичной функции Ляпунова: v(x) = xT X −1 x, X Â 0 : v(x) > 0; v̇(x) < 0 на решениях Неравенство Ляпунова AX + XAT ≺ 0 относительно матрицы X Â 0, X ∈ Rn×n Переменных: (n2 + n)/2, и они входят в неравенство линейно Линейное матричное неравенство, Linear Matrix Inequality, LMI (управление: ẋ = Ax + Bu; u = Kx) 2/26 Каноническая форма LMI Fi = FiT ∈ Rn×n , i = 0, . . . , ` — фикс. симметричные матрицы (коэффициенты) xi , i = 1, . . . , ` — скаляры (переменные) . P̀ ¡ ¢ LMI: F (x) = F0 + xi Fi ≺ 0; эквивалентно: λmax F (x) < 0 i=1 ¡ ¢ !!! функция λmax F (x) нелинейна по x !!! Сведѐние “матричного” LMI (∗) AX + XAT + Q ¹ 0 к канонической форме: E1 , . . . E` , ` = (n2 + n)/2 — базис в пространстве Sn×n ; P̀ P̀ тогда X = xi Ei и для (∗) имеем Q + xi (AEi + Ei AT ) ¹ 0 i=1 |{z} i=1 | {z } F0 Fi Связь: •XÂ0 — линейное матричное неравенство • v(x) = xT X −1 x, X Â 0 — квадратичная функция Ляпунова для устойчивой системы • E = {x ∈ Rn : xT X −1 x ≤ γ 2 , X Â 0} — эллипсоид, множество уровня функции Ляпунова В дальнейшем: X→P 3/26 ИСТОРИЯ Первое LMI AP + P AT ≺ 0: А.М.Ляпунов (1892) — теория устойчивости Термин “матричные неравенства”: В.А.Якубович (1962) — задачи абс. устойчивости “...Якубович является отцом LMI, а дедушкой — Ляпунов” Выпуклость LMI: Е.С. Пятницкий, В.И.Скородинский (1982) Численные методы (внутренней точки – для LMI): Ю.Нестеров, А.Немировский (1988) Формулировка задач теории систем и управления в терминах LMI: S. Boyd (1994) Пакеты: SeDuMi (J.Sturm, 1998), Yalmip, (J.Löfberg, 2001), cvx (S.Boyd, 2005)... Путеводитель по пакетам: А.Н.Чурилов, А.В.Гессен (2004) Использование аппарата LMI в управлении: Д.В.Баландин, М.М.Коган (2006) !!!! задача считается решенной, если она сведена к формату LMI !!!! • широкая область применения • мощные численные процедуры (“решатели”) • программные пакеты (Matlab), удобный интерфейс 4/26 Определения, некоторые элементарные свойства

Recently converted files (publicly available):