• Document: Операционное исчисление. Преобразование Лапласа
  • Size: 221.87 KB
  • Uploaded: 2018-12-08 08:28:51
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Лекция 2.2.16. Операционное исчисление. Преобразование Лапласа. Образы простых функций Основные свойства преобразования Лапласа. Изображение производной оригинала. Операционное исчисление. Преобразование Лапласа Операционное исчисление основано на преобразовании Лапласа, формула которого имеет вид: ∞ F(p) = ∫ e − pt f ( t )dt , (2.1) 0 где f(t), в общем, комплексная функция вещественного аргумента t, 0 ≤ t < ∞, а F(p) – ее Ла- плас-образ от комплексного переменного p. Эта формула определяющая преобразование Лапласа, представляет собой оператор специального вида, для которого f(t) является ориги- налом (прообразом), а функция F(p) – изображением (образом). Эта связь между оригина- лом и изображением обозначается f(t)→F(p) или f (t ) = F ( p) , или F(p)=Lf(t). Так как вы- шеуказанный интеграл несобственный, то для его сходимости будем считать, что функция f(t) конечна при конечных t, при t<0 ⇒ f(t)=0, а при t→∞ либо остается конечный, либо ее возрастание по модулю будет не быстрее экспоненты. В общем случае можно написать |f(t)| ≤ M e S 0 t , где М и S0 – некоторые постоянные. Таких функций в приложениях большинство. Теорема: Если p=S+ir, то при условии S>S0 (Re p>S0), интеграл Лапласа абсолютно сходится. Доказательство: так как | e-pt f(t) | = | e-St e-irt f(t) | = e-St | f(t) | ≤ Me-(S-S0)t , а интеграл от затухающей экспоненты сходится. Таким образом функция F(p) определена, во всяком слу- чае, в полуплоскости Re p>S0, является аналитической функцией. В этом состоит отличие преобразования Лапласа от преобразования Фурье, где требовалось, чтобы преобразуемая функция обращалась в ноль на бесконечности, а в преобразовании Лапласа позволяет пре- образовывать функции, экспоненциально растущие на бесконечности, за счет добавления гасящего множителя e-St. Значении Re p можно считать достаточно большим. Интеграл (2.1) имеет производную по p при Re p>S0. Итак, F(p) в полуплоскости Re p > S0, является однозначной аналитиче- ской функцией. Оператор Лапласа является линейным оператором, т.к. сложение оригиналов приводит к сложению прообразов, а умножение их на константу приводит к умножению прообразов на ту же константу. Отсюда как было сказано ранее, для линейных операторов у которых прообраз, а следовательно и образ зависят от параметра λ, производная прообраза по этому параметру равна производной образа по тому же параметру. Образы простых функций Образ экспоненты eat: ∞ e (−p + a ) t ∞ 1 1 e at → ∫ e − pt e at dt = t =0 = 0 − = (2.2) 0 −p+a −p+a p−a В правой части e(-p+a)∞=0, т.к. Re p можно выбрать достаточно большой так, чтобы - 1 p+a<0(2ep>a). При a=0 из (2.2) имеем:1 → . p

Recently converted files (publicly available):