• Document: Aufgaben zum Vorkurs B S. 2 Übungen zu Gauß-Algorithmus 2x x 2 = 7x +, 5x 2 = 7 Aufgabe 6: Aufgabe 7: Aufgabe 8: Aufgabe 9: 2x x 2 = x +2x 2 = 2 2x x 2 = 7x +, 5x 2 =, 5 x 2x 2 = x +x 2 = ...
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Aufgaben zum Vorkurs B S. 13 12 Übungen zu ”Gauß-Algorithmus” Aufgabe 1: 2x1 −x2 = 1 −7x1 +3, 5x2 = 7 Aufgabe 2: 2x1 −x2 = 1 −x1 +2x2 = 2 Aufgabe 3: 2x1 −x2 = 1 −7x1 +3, 5x2 = −3, 5 Aufgabe 4: 3x1 −2x2 = −1 −x1 +3x2 = 5 2x1 +x2 = 4 Aufgabe 5: 3x1 −2x2 = −1 −x1 +3x2 = 5 x1 +4x2 = 2 Aufgabe 6: x1 +3x2 −5x3 +4x4 = 1 2x1 +3x2 −4x3 +4x4 = 1 3x1 +2x2 −x3 −2x4 = −4 x1 +4x2 −7x3 +6x4 = 2 Aufgabe 7: −x1 +x2 = −4 x1 +x2 +2x3 = 3 2x1 +x2 +3x3 = 7 Aufgabe 8: 2x1 +x2 +x3 = 6 2x1 −2x2 = 6 x1 +x3 = 5 Aufgabe 9: −u +v −x +y = 5 2u −v −w +x = 3 −v +2w −x = 1 2u −v −w +2x −y = 2 −u +2v −w −y = −14 Aufgaben zum Vorkurs B S. 14 13 Übungen zu ”Vektoren” Aufgabe 1: −→ −→ −→ −→ −−→ Drücken Sie für ein Parallelogramm ABCD mit AB = a und AD = b die Vektoren AC, CB, BD mit Hilfe von a und b aus. Aufgabe 2: Beweisen Sie: Verbindet man die Mittelpunkte der benachbarten Seiten eines beliebigen Vierecks in der Ebene miteinander, so erhält man ein Parallelogramm. Aufgabe 3: a, b seien Vektoren, die nicht beide Null sind. Diskutieren Sie Bedingungen für das Bestehen folgender Beziehungen: (i) ka + bk = kak + kbk (ii) ka + bk = kak − kbk (iii) ka + bk > kak + kbk (iv) ka + bk < kak + kbk (v) ka + bk = kak (vi) ka + bk = 0 14 Übungen zu ”Matrizen” Aufgabe1:      1 −2 1 −1 Sei A = ,v= und w = . 4 6 2 −1 Berechnen Sie Av und Aw. Aufgabe 2:     1 −1 1 2 3 Sei A = und B =  1 −1 . 4 5 6 1 0 Berechnen Sie die Produkte AB und BA. Aufgabe3:  3 4 Sei A = . 2 3 Berechnen Sie A2 , A3 und die inverse Matrix zu A. Aufgabe 4: Welche Matrix beschreibt eine Rotation um 90◦ ? Aufgabe 5:   1 2 3 Berechnen Sie die inverse Matrix zu A =  0 1 4  und bestimmen Sie damit die Lösung zu 0 0 1   1 Ax = 1 .  1 Aufgaben zum Vorkurs B S. 15 15 Übungen zu ”Skalar- und Vektorprodukt” Aufgabe 1: Sei α der Winkel bei A in dem Dreieck 4ABC mit A = (2; −1; 1) , B = (1; −3; −5) , C = (3; −4; −4) Bestimmen Sie cos α (nicht berechnen). Aufgabe 2: Beweisen Sie den Satz des Thales vektoriell. Aufgabe 3:       1 0 1 Bestimmen Sie einen Vektor x, der linear abhängig von 1 und 1 ist, senkrecht steht auf 0       0 1 1 und die Länge 1 hat. Aufgabe 4: Wo liegen alle Vektoren, die mit einem festen Vektor a 6= 0 ein festes Skalarprodukt haben? Aufgabe 5: Berechnen Sie     1 3 (i) Das Kreuzprodukt 0 × 2 .    2 11       −1 1 0 (ii) Das Spatprodukt (a, b, c) für a =  1 , b = 1 und c = 2      2 1 3 Aufgabe 6: Geben Sie alle Lösungen von x × a = b an für     1 0 (i) a =  0  , b =  1

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