• Document: Неопределенный и определенный интегралы
  • Size: 973.76 KB
  • Uploaded: 2019-04-16 22:16:22
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

~1~ Неопределенный и определенный интегралы Понятие первообразной и неопределѐнного интеграла. Определение: Функция F  x  называется первообразной по отношению к функции f  x  , если эти функции связаны следующим соотношением: F ' x  f  x . Теорема 1: Если F  x  первообразная от f  x  , то F  x   c также является первообразной от этой функции c  const . Доказательство  F  x   С   F '  x   С  f  x   0  f  x   F  x   С -первообразная.  f  x Теорема 2: Если одна и та же функция имеет две первообразные, то они отличаются друг от друга на величину произвольной постоянной. Доказательство   x   F2  x   F1  x    '  x   F2 '  x   F1 '  x   f  x   f  x   0  '  x   С - произвольная константа. Определение: Неопределѐнным интегралом называется бесчисленное множество первообразных, отличающихся друг от друга на величину произвольной постоянной. Обозначение:  f  x dx  F  x   С f  x  - подынтегральная функция, f  x  dx - подынтегральное выражение. ~2~ Свойства неопределѐнного интеграла. 1. Производная от интеграла равна подынтегральной функции.   f  x  dx    F  x   c   F '  x   f  x  ' ' 2. Дифференциал от интеграла равен подынтегральному выражению. d   f  x  dx     f  x  dx  ' dx  f  x  dx 3. Интеграл от дифференциала функции равен этой функции плюс произвольная постоянная.  dF  x    F '  x  dx   f  x  dx  F  x   С Следствие:  dx  x  С 4. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла.  Сf  x  dx  С  f  x  dx, С  const . Доказательство: Вычислим производную от левой и правой части:   Сf  x  dx   Сf  x  С  f  x  dx   С   f  x  dx   Сf  x  . ' ' ' Получили одно и то же выражение, значит формула четвѐртого свойства верна. 5. Интеграл от суммы двух функций равен сумме интегралов вычисленных от каждой из этих функций.   f  x   f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx 1 2 1 2 Доказательство:    f  x   f  x  dx  '  f  x   f  x  1 2 1 2   f  x  dx  f  x  dx  '    f  x  dx  '   f  x  dx  '  f  x   f  x  1 2 1 2 1 2 Получили одно и то же выражение, значит формула пятого свойства верна. 6. Если аргумент подынтегральной функции в свою очередь является линейной 1 функцией, то интеграл вычисляется по формуле:  f  ax  b  dx  a F  ax  b   c

Recently converted files (publicly available):