• Document: La typologie de Gérard Vergnaud ou variations sur = 21
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La typologie de Gérard Vergnaud ou variations sur 13 + 8 = 21 Les problèmes additifs sont des problèmes ternaires. Ils reposent sur trois nombres dont un est inconnu. Ils mettent en jeu une addition ou une soustraction. Construire le champ conceptuel des problèmes additifs, c’est installer l’invariant "x + y = z", c’est savoir effectuer le calcul ”x + y =?", et résoudre l’équation "x+? = z", c’est aussi savoir repérer x, y et z dans les différents problèmes additifs. 1 Typologie Gérard Vergnaud distingue six relations additives de base, que l’on peut trouver, pour certaines, dans un contexte ordinal ou cardinal : 1. la composition de deux états en un troisième (problèmes partie/tout, en contexte cardinal uniquement) : Il y a deux sous-types, selon que . . . • on cherche le cardinal du tout, il faut faire une addition : Il y a 13 pommes et 8 poires dans la corbeille de fruits. Combien cela fait-il de fruits ? codage : P1 − P2  T ? • on cherche le cardinal d’une partie, il faut faire une soustraction : Il y a des pommes et des poires dans la corbeille de fruits. Il y a 21 fruits en tout, dont 13 pommes. Combien y a-t-il de poires ? codage : P1 − P2 ?  T 2. la transformation d’une mesure initiale en une mesure finale : Il y a 13 fruits dans la corbeille. On rajoute 3 bananes. On peut, à partir de là trouver six sous-types selon que l’on a affaire à une addition ou une soustraction, que l’on cherche l’état final, la transformation ou l’état initial. • la transformation est un ajout et on cherche l’état final, il faut faire une addi- tion : Il y a 13 pommes dans la corbeille de fruits, on rajoute 8 pommes. Combien y en a-t-il maintenant ? ou, dans un contexte ordinal, Pierre joue au jeu de l’Oie, il est sur la case 12, il obtient 7, où arrivera-til ? T+ codage : I −−−→ F ? • la transformation est un ajout et on cherche l’état initial, il faut faire une soustraction : On ajoute 8 pommes dans la corbeille de fruits, il y en a maintenant 21. Com- bien de pommes y en avait-il avant qu’on en rajoute ? T+ codage : I ? −−−→ F • la transformation est un ajout et on cherche la transformation, il faut faire une soustraction : Il y avait 13 pommes dans la corbeille de fruits, on en a rajouté et maintenant il y en a 21. Combien en a-t-on rajouté ? T+ ? codage : I −−−−−→ F • la transformation est un retrait et on cherche l’état final, il faut faire une soustraction : Il y a 21 pommes dans la corbeille de fruits, on enlève 8 pommes. Combien y en a-t-il maintenant ? T- codage : I −−−→ F ? • la transformation est un retrait et on cherche l’état initial, il faut faire une addition : On retire 8 pommes dans la corbeille de fruits, il y en a maintenant 13. Com- bien de pommes y en avait-il avant qu’on en enlève ? T- codage : I ? −−−→ F • la transformation est un retrait et on cherche la transformation, il faut faire une soustraction : Il y avait 21 pommes dans la corbeille de fruits, on en a enlevé et maintenant il y en a 13. Combien en a-t-on enlevé ? T- ? codage : I −−−−→ F 3. la relation de comparaison entre deux mesures : Il y a quatre sous-types, selon que l’on cherche le cardinal de l’une ou l’autre collection ou la différence, ou la somme. • On cherche l’un des deux états, on connaît un écart positif. Il y a deux corbeilles de fruits. Il y a 13 fruits dans la première corbeille, et 8 de plus dans la deuxième, combien y’en a-t-il dans la deuxième corbeille ? Codage E1 − e+ − E2 ? • On cherche l’un des deux états, on connaît un écart négatif. Il y a deux corbeilles de fruits. Il y a 21 fruits dans la première corbeille, et 8 de moins dans la deuxième, combien y’en a-til dans la deuxième corbeille ? Codage E1 − e- − E2 ? • On connaît les deux états, on cherche l’écart positif. Il y a deux corbeilles de fruits. Il y a 21 fruits dans la première corbeille, et 8 de dans la deuxième. Combien de fruits y a t-il de plus dans la première corbeille que dans la deuxième ? Codage E1 − e+ ? − E2 • On connaît les deux états, on cherche l’écart négatif. Il y a deux corbeilles de fruits. Il y a 21 fruits dans la première corbeille, et 8 de dans la deuxième. Combien de fruits y a t-il de moins dans la deuxième corbeille que dans la première ? Codage E1

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