• Document: Esercizio su sforzi tangenziali indotti da taglio T in trave inflessa
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Esercizio su sforzi tangenziali indotti da taglio T in trave inflessa Si consideri la sezione rappresentata in figura (sezione t = 15 mm di trave inflessa) sulla quale agisca un taglio verticale T = 27 kN (lungo l’asse di h = 175 mm simmetria). Determinare la massima tensione tangenziale verticale indotta sulla sezione (usando la formula di d = 25 mm Jourawsky). b = 250 mm Determinazione del baricentro G Introducendo un sistema di riferimento x,y con asse x coincidente con il bordo inferiore della sezione e asse y coincidente con l’asse verticale di simmetria della sezione (asse y positivo verso l’alto), si ha: d h S x = momento statico dell’intera sezione rispetto all’asse x = (bd ) + (th ) (d + ) (avendo 2 2 decomposto la sezione nei due rettangoli di dimensioni b,d e t,h ); numericamente si ottiene: S x = 25 ⋅ 250 ⋅ 12.5 mm 3 + 15 ⋅ 175 ⋅ 112.5 mm3 = 373 ⋅437.5 mm 3 . Inoltre si ha: A = area intera sezione =b ⋅ d + t ⋅ h = 8⋅875 mm 2 . S x 373 ⋅437.5 mm3 La coordinata yG del baricentro è data da: yG = = = 42.07 mm ≅ 42 mm A 8⋅875 mm 2 Nei calcoli che seguono si utilizza il valore approssimato di yG dato da yG = 42 mm . Determinazione del momento d’inerzia dell’intera sezione rispetto all’asse baricentrico Anche per questo calcolo la sezione viene decomposta nei due rettangoli di dimensioni b,d e t,h; detto I1 il momento di inerzia del primo rettangolo (costituente l’ala inferiore della sezione) e I 2 il momento d’inerzia del secondo rettangolo ( I1 e I 2 sono riferiti all’asse orizzontale passante per il baricentro G dell’intera sezione), si ha (adoperando il teorema di trasposizione per i momenti di inerzia): 1 250 ⋅ 253 I1 = bd 3 + bd ( yG − d / 2)2 = mm 4 + 250 ⋅ 25 ⋅ (42 − 12.5)2 mm 4 = 5 ⋅764 ⋅583 mm 4 12 12 1 15 ⋅ (175)3 I 2 = th 3 + th (d + h / 2 − yG )2 = mm 4 + 15 ⋅ 175 ⋅ (70.5)2 mm 4 = 19 ⋅746⋅125 mm 4 12 12 I = momento d'inerzia dell'intera sezione = = I1 + I 2 = 25⋅510⋅708 mm 4 t = 15 mm h = 175 mm G Calcolo della massima tensione tangenziale (in direz. verticale) yG = 42 mm sulla sezione retta d = 25 mm b = 250 mm Il valore massimo della τ si realizza in corrispondenza della corda orizzontale passante per il baricentro G. T S* Si tratta di applicare la formula di Jourawsky: τ= It con: T = taglio, S * = momento statico (valutato rispetto all’asse neutro della flessione) della porzione di sezione trasversale posta al di sopra o al di sotto della corda orizzontale in corrispondenza della quale si valuta la τ , I = momento d’inerzia dell’intera sezione, t = lunghezza della corda orizzontale di valutazione della τ . Indicando con τ G la τ in corrispondenza della corda baricentro e con S *G il corrispondente momento statico si ha: T S *G τG = , dove S *G (valutato come momento statico della porzione rettangolare di sezione che It ( h + d − yG ) 2 (158) 2 sta sopra la corda baricentrica) è dato da S *G = t = 15 ⋅ mm 3 = 187 ⋅ 230 mm 3 . 2 2 Dunque: (27 ⋅000 N ) ⋅ (187 ⋅ 230 mm 3 ) N τG = ⋅ ⋅ 4 = 13.4 = 13.4 MPa (25 510 708 mm ) ⋅ (15mm ) mm 2

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