• Document: Волновое уравнение на полупрямой. Метод продолжения и метод характеристик
  • Size: 324.57 KB
  • Uploaded: 2019-07-21 03:40:38
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

УМФ – семинар – К 5 – 4 Волновое уравнение на полупрямой. Метод продолжения и метод характеристик № 447, 449, 451, 448, 450, 452, 454, 453, 455, 456, 457, I, II, III, IV, V. 1. Метод продолжения Рассмотрим задачу Коши на прямой для простейшего случая волнового уравнения:   utt − a2 uxx = f (x, t), x ∈ (−∞, +∞), t ∈ (0, +∞); u(x, 0) = ϕ(x), x ∈ (−∞, +∞); (1.1) ut (x, 0) = ψ(x), x ∈ (−∞, +∞).  Вспомним утверждения, доказанные в номерах 445 и 446: № 445. Усл. f (x, t) ≡ 0. Утв. а) из нечётности ϕ(−x) = −ϕ(x) и ψ(−x) = −ψ(x) функций ϕ и ψ следует, что u(0, t) = 0; б) из чётности ϕ(−x) = ϕ(x) и ψ(−x) = ψ(x) функций ϕ и ψ следует, что ux (0, t) = 0. № 446. Усл. ϕ(x), ψ(x) ≡ 0. Утв. а) из нечётности f (−x, t) = −f (x, t) по переменной x функции f следует, что u(0, t) = 0; б) из чётности f (−x, t) = f (x, t) по переменной x функции f следует, что ux (0, t) = 0. Это наблюдение и легло в основу метода продолжения. Продемонстрируем его на примерах, а затем сформулируем в виде теоремы. 2. № 447 Найти решение задачи для волнового уравнения на полупрямой в случае однородного краевого условия первого рода:  2  utt − a uxx = 0,  x > 0, t > 0; u(x, 0) = ϕ(x), x > 0;  (2.1)   ut (x, 0) = ψ(x), x > 0; u(0, t) = 0, t > 0.  Пока мы ещё не умеем решать задачи на полупрямой, зато всё знаем о решении задачи Коши на прямой. Рассмотрим вспомогательную задачу на прямой:   vtt − a2 vxx = 0, x ∈ (−∞, +∞), t > 0; v(x, 0) = ϕ1 (x), x ∈ (−∞, +∞); (2.2) vt (x, 0) = ψ1 (x), x ∈ (−∞, +∞),  c Д.С. Ткаченко -1- УМФ – семинар – К 5 – 4 где функции ϕ1 (x) и ψ1 (x) построены по функциям ϕ(x) и ψ(x) их нечётным продолжением на всю числовую ось:    ϕ(x), при x > 0;  ψ(x), при x > 0; ϕ1 (x) = 0, при x = 0; ψ1 (x) = 0, при x = 0; (2.3) −ϕ(−x), при x < 0, −ψ(−x), при x < 0.   Рассмотрим, каким условиям удовлетворяет v(x, t) на промежутке x ∈ (0, +∞). Так как v – решение (2.2), то: 1) из первого равенства (2.2) следует, что vtt − a2 vxx = 0, x ∈ (0, +∞), t > 0; 2) из второго равенства (2.2) следует, что v(x, 0) = ϕ1 (x) ≡ ϕ(x), x ∈ (0, +∞), t > 0; 3) из третьего равенства (2.2) следует, что vt (x, 0) = ψ1 (x) ≡ ψ(x), x ∈ (0, +∞), t > 0. Наконец, в силу утверждения из № 445, для решения v(x, t) вспомогательной задачи (2.2) справедливо соотношение v(0, t) = 0, t > 0. Поэтому оказывается, что решение v(x, t) вспомогательной задачи (2.2) является так- же решение

Recently converted files (publicly available):