• Document: Análisis Estructural Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal
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Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal Enunciado Dada la estructura de la Figura, idealizada mediante un marco con vigas rígidas y columnas inextensibles, sometida a una carga armónica lateral de 8 t, se pide: 1) Determinar desplazamientos máximos en ambos niveles 2) Momento flector, corte y esfuerzos normales máximos debidos a carga lateral en todos los elementos. 11 tn 2 EI=977 t m2 2.9 m P(t)=8 t sin (30rad/s t) 11 tn 1 t (s) EI=977 t m2 2.9 m 4.75 m Figura 1. Idealización estructural Procedimiento 1) Determinación de modos y frecuencias naturales 2) Determinación de coordenadas modales 3) Determinación de desplazamientos máximos 4) Determinación de diagramas para modos 1 y 2 5) Determinación de momento flector, corte y esfuerzo normal máximos para columnas de planta baja. 1) Determinación de frecuencias y modos naturales Considerando que las columnas y vigas son inextensibles, y que las vigas son infinitamente rígidas a flexión.  48⋅ E⋅ I − 24E⋅ I   3 3 K :=  h h  K=  1921.973 −960.987 t  24E⋅ I 24E⋅ I   −960.987 960.987  m − 3 3  h h  Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal 12EI/h3 12EI/h3 K21 = - 24EI/h3 2 12EI/h3 12EI/h3 K11 = +48EI/h3 1 12EI/h3 12EI/h3 12EI/h3 12EI/h3 K22 = + 24EI/h3 2 12EI/h3 12EI/h3 K12 = - 24EI/h3 Figura 2. Determinación de la matriz de rigidez condensada La matriz de masa, por otra parte, es obtenida dividiendo los pesos por la gravedad: 2  11 0  ⋅ t  1.122 0  t⋅ sec M :=  M=   0 11  g  0 1.122  m En primera instancia, se determinan las frecuencias naturales resolviendo la ecuación característica que resulta de igualar el determinante de K-ω2M a cero:  1921.973 −960.987 − ω2⋅  1.122 0  0 2 4   923521 − 3235⋅ ω + 1.2589ω ⋅ 0  −960.987 960.987   0 1.122  La soluciones de la ecuación bi-cuadrática son las frecuencias naturales del primer y segundo modo: Análisis Estructural - 2009 Trabajo práctico de dinámica estructural: Superposición modal rad ω1 1 ω1 := 18.088 f1 := f1 = 2.879Hz T1 := T1 = 0.347s sec 2⋅ π f1 rad ω2 1 ω2 := 47.353⋅ f2 := f2 = 7.536Hz T2 := T2 = 0.133s sec 2⋅ π f2 Puede verse que el período fundamental es 0.347 s, mientras que el segundo modo tiene un período de 0.133 s. Las formas modales son obtenidas resolviendo el sistema singular que resulta de reemplazar las frecuencias naturales en las ecuaciones de equilibrio dinámico para vibraciones libres: Para el modo 1 se plantea:   1921.973 −960.987 − ω 2⋅  1.122 0   ⋅  φ1 1   1554.882 −960.987 ⋅  φ1 1  0  1  0 1.122       −960.987 960.987      φ1 2   −960.987 593.915   φ1 2  0 Dado que el sistema es singular, se establece el valor de una de las componentes del vector φ1, para así obtener un sistema determinado. De esta m

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