• Document: 1.) Zusammenfassung Aussagenlogik, Mengen, Abbildungen
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Hinweis: Man sollte sich gut überlegen, was man im Testat sagt und welche Begriffe man verwendet. Es ist wichtig, die richtigen Begriffe zu kennen, um sich korrekt ausdrücken zu können. Dies ist besonders beim Abschnitt über Partitionen sehr ernst zu nehmen. 1.) Zusammenfassung Aussagenlogik, Mengen, Abbildungen Wiederhole die Themen Aussagenlogik, Mengen und Abbildungen. Wir stellen Fragen im Testat! 2.) Partitionen Aufbauend auf: "Grundbegriffe: Elemente und Teilmengen ", "Cartesische Produkte und Abbildungen" Aufgaben: 4 > restart; Definition Partitionen, also Aufteilungen von Mengen in Teilmengen, gehören zu den wichtigen Objekten in der Mathematik und auch in den Anwendungen. MATH: Sei eine Menge. Eine Menge von Teilmengen von heißt Partition von , falls drei Eigenschaften erfüllt sind: 1) , ( ist die Vereinigung aller Mengen aus oder jedes Element von kommt als Element bei einer Klasse von mindestens einmal vor.) 2) (Je zwei verschiedene Mengen aus haben einen leeren Durchschnitt, sie sind (paarweise) disjunkt, wie man sagt, oder: Jedes Element von kommt als Element einer Klasse von höchstens einmal vor.) 3) Die leere Menge ist kein Element von .) Die Bedingungen 1) und 2) zusammen schreibt man manchmal auch so: , Man beachte, dass die Elemente von Teilmengen von sind. Wir wollen sie als Klassen bezeichnen: Die definierende Eigenschaft ist also: Jedes Element von gehört zu genau einer Klasse aus , keine Klasse ist leer. Zunächst zwei triviale Beispiele von Partitionen einer Menge M: > M:={$1..10}; (2.1.1) (2.1.1) > P:={M}; # nur eine Klasse (2.1.2) > P:=map(i->{i},M); # jedes Element bildest eine eigene Klasse (2.1.3) Wir wollen die drei definierenden Bedingungen für das letzte Beispiel überprüfen: Test 1: > evalb( `union`(op(P))=M ); true (2.1.4) Test 2: > DISJUNKT:=proc(P::set(set)) local i,k; for i from 2 to nops(P) do for k from 1 to i-1 do if nops(P[i] intersect P[k])>0 then return false; end if; end do; end do; return true; end proc: > DISJUNKT(P); true (2.1.5) Wer es versteht, kann den Test auch wie folgt durchführen: > evalb(map(a->op(map(b->a intersect b,P minus {a})),P) = {{}}) ; true (2.1.6) Test 3: > not({} in P); true (2.1.7) MATH: Was man sich bei einer Partition vorstellt, ist eine Aufteilung der Menge nach bestimmten Gesichtspunkten: z. B. welchen Rest ein Element von beim Teilen durch drei lässt: > Part3:=proc(M::set(integer)) # Unser Programm lässt nur (endliche) Mengen von ganzen Zahlen als Eingabe zu. local P,i; for i from 0 to 2 do P[i]:={} end do; for i in M do P[i mod 3]:=P[i mod 3] union {i} end do; return {seq(P[i],i=0..2)} minus {{}} end proc: > Part3({3,6,8,10,11,13,17}); (2.1.8) ÜBUNG [01]: 1.) Schreibe ein Programm, welches zu einer endlichen Menge ganzer Zahlen eine Partition nach positiven und negativen Zahlen und der Null herstellt. 2.) Teste das Programm an mindestens zwei Beispielen. Beachte: Ein Programm ist mit einem mathematischen Satz zu vergleichen: Der Kommentar entspricht der Formulierung des Satzes und der Programmtext dem Beweis. MATH: Man kann aus zwei Partitionen und derselben Menge eine weitere bilden, indem man die Durchschnitte jeder Klasse von mit jeder von bildet und die leere Menge entfernt. Kommt wieder die Partition heraus, so sagt man, ist feiner als . Hier ist ein Programm, welches diese Operation durchführt: > Schni:=proc(P1::set(set), P2::set(set)) return map(K1->op(map(K2->K1 intersect K2,P1)),P2) minus { {}}; end proc: > M; (2.1.9) > Schni(Part3(M),{{1},{$2..5},{$6..10}}); (2.1.10) ÜBUNG [02]: Vervollständige das obige Programm Schni durch zwei Ergänzungen: 1) Am Anfang soll überprüft werden, ob und (a) Partitionen (b) derselben Menge sind. 2) Verstehe das Programm und füge Kommentare ein. Beachte: Ein Programm ist mit einem mathematischen Satz zu vergleichen: Der Kommentar entspricht der Formulierung des Satzes und der

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