• Document: KARAKTERISTIK PERSAMAAN ALJABAR RICCATI DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH KENDALI
  • Size: 125.66 KB
  • Uploaded: 2019-04-16 09:05:31
  • Status: Successfully converted


Some snippets from your converted document:

Prosiding Seminar Nasional Penelitian, Pendidikan dan Penerapan MIPA, Fakultas MIPA, Universitas Negeri Yogyakarta, 14 Mei 2011 KARAKTERISTIK PERSAMAAN ALJABAR RICCATI DAN PENERAPANNYA PADA MASALAH KENDALI Muhammad Wakhid Musthofa Program Studi Matematika Universitas Islam Negeri Sunan Kalijaga Yogyakarta Email: mwakhid_m@yahoo.com Abstrak Makalah ini membahas karakteristik persamaan aljabar Riccati yang berperan penting dalam desain sintesis berbagai masalah kendali. Pembahasan karakteristik persamaan ini difokuskan pada pembentukan solusi dari persamaan aljabar Riccati yang menstabilkan sistem. Selanjutnya disajikan penerapan persamaan aljabar Riccati pada masalah desain pengontrol robust H ∞ dan H 2 serta desain kontrol optimal tipe feedback pada masalah linear quadratic regulator. Kata kunci: Persamaan aljabar Riccati, kontrol robust, kontrol optimal. PENDAHULUAN Permasalahan yang sering muncul dalam teori kontrol adalah masalah analisis dan masalah sintesis. Masalah analisis dapat dipandang sebagai pekerjaan memeriksa sebuah pengontrol yang telah diperoleh apakah sinyal-sinyal terkontrolnya (tracking error, sinyal pengontrol) memenuhi sifat-sifat yang diinginkan terhadap semua noise, gangguan dan ketidakpastian model yang diperkenankan. Sedangkan masalah sintesis memfokuskan pada pendesainan sebuah pengontrol dari suatu sistem dinamik sedemikian sehingga sinyal-sinyal terkontrolnya memenuhi sifat-sifat yang diinginkan terhadap semua noise, gangguan dan ketidakpastian model yang diperkenankan. Salah satu persamaan yang berperan penting dalam masalah sintesis adalah persamaan aljabar Riccati. Persamaan aljabar Riccati ialah persamaan matriks dalam bentuk A∗ X + XA + XRX + Q = 0 (1) dengan matriks Qn×n , Rn×n simetris yang berelasi dengan matriks Hamiltonian berukuran 2n × 2n  A R  H :=  * . (2)  −Q − A  Matriks Hamiltonian di atas sangat bermanfaat untuk menentukan solusi yang menstabilkan sistem yang berkorespondensi dengan persamaan (1). PERSAMAAN ALJABAR RICCATI Solusi Persamaan Aljabar Riccati yang Menstabilkan Sistem Untuk menentukan solusi persamaan aljabar Riccati yang menstabilkan sistem, diasumsikan matriks Hamiltonian H tidak punya nilai eigen pada sumbu imajiner. Dikarenakan spektrum dari matriks H mempunyai sifat simetris terhadap sumbu imajiner, akibatnya H = − H * dan λ sebagai nilai eigen dari H mempunyai sifat λ dan −λ adalah nilai eigen dari H. Dengan demikian matriks H akan mempunyai n nilai eigen di Re ( s ) < 0 dan n nilai eigen di Re ( s ) > 0 . Didefinisikan X _( H ) = span {vi ; i = 1, 2,..., n} merupakan subruang invarian berdimensi n M-173 Muhammad Wakhid Musthofa / Karakteristik Persamaan Aljabar yang berhubungan dengan nilai-nilai eigen di Re ( s ) < 0 dengan vi adalah vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λi . Susun vektor-vektor {vi ; i = 1, 2,..., n} yang merupakan basis dari X _( H ) menjadi matriks X  X _( H ) = Im  1  (3) X 2  dengan X 1 , X 2 ∈ C n x n . Jika X 1 nonsingular atau ekuivalen dengan jika subruang 0  X _( H ), Im   (4) I  saling komplementer, maka dapat dibentuk X = X 2 X 1−1 sebagai solusi dari persamaan (1). Dengan demikian X ditentukan secara tunggal oleh H atau dapat ditulis H aX, atau Ric : dom (Ric) ⊆ R 2 n×2n → R n× n . (5) Fungsi dalam persamaan (5) di atas disebut fungsi Riccati dan dinotasikan dengan Ric. Domain dari fungsi Riccati dinotasikan dengan dom(Ric) dipilih beranggotakan semua matriks Hamiltonian yang mempunyai sifat tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner dan dua subruang dalam persamaan (4) saling komplementer. Matriks X yang dihasilkan dari pemetaan fungsi Riccati ( X = Ric(H ) ) disebut solusi yang menstabilkan sistem. Berdasarkan konstruksi di atas, matriks X sebagai solusi yang menstabilkan sistem dapat diperoleh dengan algoritma berikut : 1. Himpun semua nilai eigen dari H yang memenuhi Re ( λi ) < 0 beserta dengan {vi }, i = 1, 2,..., k ≤ n sebagai vektor eigen dari λi

Recently converted files (publicly available):