• Document: Master de Mathématiques M1 Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin durée : 3h
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Master de Mathématiques M1 – Analyse fonctionnelle Examen du 16 juin 20111 - durée : 3h - Le seul document autorisé est un résumé manuscrit du cours de trois pages maximum. - Les téléphones portables et les calculatrices ne sont pas autorisés. - Toutes les réponses doivent être soigneusement justifiées. 1. On considère sur E = C([0, 1], R) les deux normes : Z 1 kf k1 = |f (x)|dx et kf k∞ = sup |f (x)|. 0 x∈[0,1] On note que kf k1 ≤ kf k∞ , f ∈ E. a) Pour n ≥ 0, soit fn : t → tn , fn ∈ E. Calculer kfn k1 , kfn k∞ et en déduire qu’il n’existe pas de nombre C ≥ 0 tel que kfn k∞ ≤ Ckf k1 , pour tout f ∈ E. b) Pour n ≥ 1, soit gn (t) = min(n, √1t ). Démontrer que 1 1 kgn+p − gn k1 = − , pour tout p ≥ 1. n n+p En déduire que (gn ) est de Cauchy pour k · k1 . Vérifier ensuite que (gn ) n’a pas de limite dans E. Conclure. c) On suppose que E est muni de la norme k · k∞ . Soit A = {f ∈ E; |f (x)| < 1, ∀ x ∈ [0, 1]}. Montrer que A est ouvert. Déterminer son adhérence. 1 Le corrigé sera disponible à partir du 17 juin 2011 à l’adresse http ://www.math.univ-metz.fr/∼ choulli/enseignement.html 2. On désigne par E l’ensembles des suites réelles qui convergent vers 0 et par F l’ensemble des suites réelles nulles à partir d’un certain rang. a) Montrer que E est un espace vectoriel sur R et que F est un sous-espace vectoriel strict de E. b) Pour u = (un ) dans E, on pose kuk∞ = sup |un |. n Vérifier que k · k∞ est une norme sur E puis montrer que F est dense dans E. c) Montrer que E est complet. Est-ce que F l’est aussi ? d) On note `1 l’ensemble des suites réelles sommables. On munit `1 de la norme X kuk1 = |un |, pour u = (un ) ∈ `1 . n≥0 i) On fixe u ∈ `1 et on note Φu l’application : X Φu (v) = un vn , v ∈ E. n≥0 Montrer que Φu est une forme linéaire continue sur E et calculer sa norme. ii) Montrer que Φ : u → Φu est une isométrie bijective de `1 sur E ∗ . 3. Soit X un espace de Banach réel et Y un sous-espace vectoriel de X. a) Soient α ∈ R et f ∈ X ∗ telle que f (x) < α, pour tout x ∈ Y . Montrer alors que f = 0 sur Y (on montrera que |λ||f (x)| < α, pour tout x ∈ Y et λ ∈ R). On pose Y ⊥ = {f ∈ X ∗ ; f (x) = 0, pour tout x ∈ Y } et Y ⊥⊥ = {x ∈ X; f (x) = 0 pour tout f ∈ Y ⊥ }. b) Montrer que Y ⊥ et Y ⊥⊥ sont fermés et que Y = Y ⊥⊥ (supposer le contraire et appliquer le théorème de séparation de Hahn-Banach pour aboutir à une contradiction). 4. Soit X un espace métrique compact et H une famille équicontinue d’éléments de C(X). Soit J = {x ∈ X; {f (x)}f ∈H est borné}. Démontrer que J est un ouvert et fermé dans X. En déduire que si X est connexe et si J est non vide, alors H est une partie relativement compacte de C(X). Master de Mathématiques M1 – Analyse fonctionnelle Corrigé de l’examen du 16 juin 2011 1. a) On a Z 1 1 kfn k1 = tn dt = et kfn k∞ = 1. 0 n+1 S’il existait C ≥ 0 tel que kfn k∞ ≤ Ckf k1 , pour tout f ∈ E, on aurait, en prenant f = fn , C 1≤ pour tout n ≥ 0, n+1 ce qui est absurde. b) On peut écrire 1   n, pour 0 ≤ t < n2 gn (t) = 1 1  √ t

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